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古希臘哲學(xué)家亞里士多德相信，如果把正四面體形狀的磚彼此無(wú)縫地相接起來(lái)，就能裝滿整個(gè)空間，即最大密度達(dá)100%，這在16世紀(jì)被證明是錯(cuò)的。而一位中國(guó)數(shù)學(xué)家花了23年，給出了正四面體的磚堆起來(lái)精確的最大密度。幾何體的最大堆積密度，是著名的希爾伯特第18問(wèn)題（解釋見(jiàn)下文），希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題每一個(gè)都是公認(rèn)的最重要的數(shù)學(xué)難題，其中少數(shù)至今沒(méi)有解決。

北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授宗傳明的辦公室既狹小又簡(jiǎn)陋。一張寫字臺(tái)、滿滿一柜子書和兩把舊椅子占據(jù)了大部分空間，一臺(tái)用了十幾年的筆記本電腦大概算得上是這里最現(xiàn)代化的電器了。事實(shí)上，宗傳明連手機(jī)都沒(méi)有。然而，逼仄的空間和陳舊的設(shè)施并未束縛住這位數(shù)學(xué)家的天馬行空。他將最精確的運(yùn)算和最復(fù)雜的推導(dǎo)都放在了自己的大腦中。5月4日，純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的權(quán)威雜志《數(shù)學(xué)進(jìn)展》發(fā)表了宗傳明一篇長(zhǎng)達(dá)61頁(yè)的研究論文。

北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授宗傳明

一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題

先哲的智慧總是讓人驚嘆。早在兩千多年前，古希臘人就發(fā)現(xiàn)了五種正規(guī)多面體——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。人們將這些正規(guī)多面體賦予了靈性，如正四面體代表火，正八面體代表空氣，正二十面體代表水。

公元前三世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家亞里士多德斷言，在這五種正規(guī)多面體中，正四面體和立方體都能砌滿整個(gè)空間。換句話說(shuō)，他認(rèn)為用大小一樣的正四面體形狀的磚彼此無(wú)縫地相接起來(lái)，就能裝滿整個(gè)空間。

正多面體共有五個(gè)，均由古希臘人發(fā)現(xiàn)

在隨后的一千八百年中，亞里士多德的這一斷言曾多次受到著名學(xué)者的質(zhì)疑。但是，對(duì)其錯(cuò)誤的嚴(yán)格論證直到16世紀(jì)才出現(xiàn)。

“人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)幾個(gè)正四面體沿著一條棱圍成一圈時(shí)一定會(huì)產(chǎn)生縫隙。”宗傳明告訴《中國(guó)科學(xué)報(bào)》記者，用專業(yè)的話說(shuō)，正四面體的最大堆積密度是小于1的。

1900年，被稱為“數(shù)學(xué)界無(wú)冕之王”的德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在法國(guó)巴黎召開(kāi)的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了一次演講。他提出了新世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，著名的費(fèi)馬猜想、哥德巴赫猜想均在此列。

而基于亞里士多德的錯(cuò)誤和開(kāi)普勒關(guān)于堆球的猜想，希爾伯特將“確定一個(gè)給定幾何體（例如球或者正四面體）的最大堆積（或定向堆積）密度”列入他的第十八個(gè)問(wèn)題。

“數(shù)學(xué)家要有點(diǎn)志氣”

1991年，在中科院院士王元的支持下，宗傳明坐上火車，歷經(jīng)7天7夜的長(zhǎng)途跋涉，遠(yuǎn)赴奧地利首都維也納攻讀博士學(xué)位，師從當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家拉夫卡和格魯巴學(xué)習(xí)數(shù)的幾何。

起初，年輕的宗傳明并不知道自己該做些什么，直到一個(gè)周五的下午，他來(lái)到拉夫卡的辦公室。這位老人告訴他：“一個(gè)好的科學(xué)家要樹(shù)立一個(gè)遠(yuǎn)大理想，要有一個(gè)核心研究問(wèn)題。問(wèn)題確定后，要堅(jiān)持獨(dú)立思考，圍繞著核心問(wèn)題循序漸進(jìn)，逐步提高水平。不要整天忙于讀書與聽(tīng)報(bào)告，獨(dú)立思考是最重要的。”

之后，宗傳明閱讀了大量書籍，從中確立了他的長(zhǎng)遠(yuǎn)研究目標(biāo)：希爾伯特第十八問(wèn)題。

“我覺(jué)得數(shù)學(xué)家要有點(diǎn)志氣，不能光挑一些小問(wèn)題研究，打一槍換一個(gè)地方。”宗傳明說(shuō)，“好的數(shù)學(xué)家都希望能在歷史上留下點(diǎn)什么，他們關(guān)心的是100年后別人如何評(píng)價(jià)自己。同時(shí)，科學(xué)也會(huì)讓民族有光。如果牛頓、愛(ài)因斯坦都是中國(guó)人，想必現(xiàn)在我們的腰桿會(huì)挺得更直。”

幸運(yùn)女神降臨

回國(guó)工作后，宗傳明得到許多前輩數(shù)學(xué)家的提攜與幫助。這使他下定決心要在希爾伯特第十八問(wèn)題上取得突破，遠(yuǎn)則告慰恩師，近則對(duì)得起前輩的支持。

宗傳明幾乎每天都在思考這一難題，并動(dòng)手做了許多幾何模型幫助思考，尋求創(chuàng)新思路。但這畢竟是一個(gè)“令許多杰出數(shù)學(xué)家競(jìng)折腰”的問(wèn)題，六年過(guò)去了，仍然沒(méi)什么實(shí)質(zhì)進(jìn)展。

2006年，美國(guó)普林斯頓大學(xué)與密歇根大學(xué)的兩組科學(xué)家借助計(jì)算機(jī)對(duì)正四面體的堆積密度展開(kāi)競(jìng)賽式研究。而材料學(xué)家也開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，基本單元為正四面體的納米材料可能具有十分特殊的物理性質(zhì)，其有望在應(yīng)用領(lǐng)域大展拳腳。

這使宗傳明感受到巨大的競(jìng)爭(zhēng)壓力，更讓他深刻地體會(huì)到這一問(wèn)題的重要性。他謝絕了國(guó)際、國(guó)內(nèi)的所有邀請(qǐng)并辭掉一些行政事務(wù)，開(kāi)始更加專注地研究希爾伯特第十八問(wèn)題。

經(jīng)歷過(guò)無(wú)數(shù)次的失敗后，2012年8月，宗傳明發(fā)現(xiàn)了一個(gè)巧妙的方法，從而在這一著名問(wèn)題上獲得突破性進(jìn)展。他證明正四面體的最大平移堆積密度介于0.367346……和0.384061……之間，這是人們對(duì)這一問(wèn)題所取得的第一個(gè)上界。

“這篇論文投稿后，審稿時(shí)間長(zhǎng)達(dá)一年半。”宗傳明坦言，“到了后期我真的很緊張，因?yàn)槿f(wàn)一中間出了什么錯(cuò)，這20多年的心血就全都白費(fèi)了。”

這一次，幸運(yùn)女神終于眷顧了他。經(jīng)過(guò)嚴(yán)苛的審稿后，論文終于成功發(fā)表，并被歐美同行盛贊為一項(xiàng)輝煌的工作。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家漢克評(píng)價(jià)稱：“必須承認(rèn)，我被其中異常復(fù)雜的運(yùn)算和構(gòu)造嚇壞了——非常讓人敬佩！”

“有些數(shù)學(xué)家很幸運(yùn)，找到一個(gè)著名問(wèn)題很快就解決了。但絕大多數(shù)人沒(méi)有這么好的運(yùn)氣，他們需要十幾年乃至幾十年的不懈努力。”談起自己的成功，宗傳明說(shuō)，“我絕不是天才，只是比別人更努力一點(diǎn)而已。”

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“第五元素”是正十二面體？

柏拉圖的“四古典元素”，其形狀如正多面體中的其中四個(gè)。

火的熱令人感到尖銳和刺痛，好像小小的正四面體。

空氣是用正八面體制的，可以粗略感受到，它極細(xì)小的結(jié)合體十分順滑。

當(dāng)水放到人的手上，它會(huì)自然流出，那它就應(yīng)該是由很多小球所組成，好像正二十面體。

土與其他的元素相異，因?yàn)樗梢员欢褩?，正如立方體。

剩下沒(méi)有用的正多面體——正十二面體，柏拉圖以不清晰的語(yǔ)調(diào)寫：“神使用正十二面體以整理整個(gè)天空旳星座。”柏拉圖的學(xué)生亞里士多德添加了第五個(gè)元素——以太（希臘文：Αιθ?ρ，拉丁轉(zhuǎn)寫：aithêr；拉丁文：aether），并認(rèn)為天空是用此組成，但他沒(méi)有將以太和正十二面體聯(lián)系。

開(kāi)普勒在《宇宙的奧秘》(1596)中給太陽(yáng)系的柏拉圖立體模型。

約翰內(nèi)斯·開(kāi)普勒依隨文藝復(fù)興建立數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)，將五個(gè)正多面體對(duì)應(yīng)五個(gè)行星——水星、金星、火星、木星和土星，同時(shí)它們本身亦對(duì)應(yīng)了五個(gè)古典元素。

如果四面體換成球呢？

若將一個(gè)容積很大的容器，以大量體積很小且體積彼此相等的小球給填充(顯然不可能完全填滿，一定會(huì)有些空隙留下)，那其密度就是指所有小球體積的總和對(duì)容器空間的比值。若欲使該容器中能放入盡可能多的小球，就必須尋找密度最高的排列法，也就是使這些被裝填的小球彼此間能盡可能緊密地排在一起。

有人做過(guò)實(shí)驗(yàn)，并發(fā)現(xiàn)隨機(jī)裝填的密度大約有65%，然而小心地排列球的位置，可達(dá)致更高的密度。若在第一層，先將球以六角形的方式排列(即每個(gè)球四周圍繞六顆球)，然后下一層的球放在“于上一層球之上能讓球中心位置最低的點(diǎn)”上，然后其余層以此類推。這就是在市場(chǎng)水果攤上橘子堆棧的方式。每個(gè)階段對(duì)于下一層該如何擺放，都有著兩種選擇，故若一直重復(fù)此法，到了最后，會(huì)有無(wú)限多的、密度相同的球的堆棧存在，此法最為人知的兩種形式，即是面心立方和六方最密堆積這兩種方法(這兩種方法的平均密度相同)，此法的平均密度大約74%，即74%左右的空間為球所占據(jù)。

面心立方和六方最密堆積這兩種方法

開(kāi)普勒猜想說(shuō)，這是所有可能的裝球排列法所能達(dá)到的最高密度，沒(méi)有更高的了。

1900年，希爾伯特將此問(wèn)題包含在希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題中，作為希爾伯特第十八問(wèn)題的一部分。