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【文/觀察者網(wǎng)專欄作者 潘禺】

今年，一場(chǎng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽結(jié)果的出圈傳播，導(dǎo)致了媒體的聚焦和全社會(huì)的討論。而在該事件不久之后，其實(shí)還有另外一場(chǎng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的結(jié)果，具有深遠(yuǎn)的影響和重要的意義，在媒體上得到的關(guān)注卻小得多。那就是2024年的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽 （IMO），主角中同樣有科技互聯(lián)網(wǎng)巨頭的身影，Google DeepMind的人工智能AlphaProof和AlphaGeometry 2，答對(duì)了6道題中的4道，首次達(dá)到了IMO銀牌獲獎(jiǎng)?wù)叩乃健?

AlphaProof解決了2道代數(shù)問(wèn)題和1道數(shù)論問(wèn)題，包括本屆IMO中最難的問(wèn)題，只有5名參賽者解決了這個(gè)問(wèn)題。AlphaGeometry 2證明了幾何問(wèn)題，而2個(gè)組合問(wèn)題AI沒(méi)能解決。每道題最高可得7分，總共最高42分。人工智能的最終得分為28分，在解決的每個(gè)問(wèn)題上都獲得了滿分，相當(dāng)于銀牌類別的最高水平，因?yàn)榻衲甑慕鹋茝?9分開(kāi)始。

這一結(jié)果表明，AI處理復(fù)雜數(shù)學(xué)推理能力有了顯著飛躍。而數(shù)學(xué)推理是人類認(rèn)知能力的一個(gè)重要方面，推動(dòng)了科學(xué)發(fā)現(xiàn)和技術(shù)進(jìn)步。

對(duì)中國(guó)來(lái)說(shuō)，這一結(jié)果也意味著重大的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

中國(guó)的人工智能企業(yè)在一些領(lǐng)域處于領(lǐng)先地位，比如圖像識(shí)別。這是因?yàn)椋四樧R(shí)別、物體檢測(cè)、醫(yī)療影像分析等許多技術(shù)成果，已經(jīng)應(yīng)用在支付、安防、智慧零售、交通監(jiān)控和智能醫(yī)療等，相比于AI的其它應(yīng)用領(lǐng)域，是率先落地的。又得益于中國(guó)巨大的人口規(guī)模和豐富的應(yīng)用場(chǎng)景，加上基建項(xiàng)目的政策與資金支持，中國(guó)企業(yè)能積累大量的圖像數(shù)據(jù)，進(jìn)而推動(dòng)了模型的訓(xùn)練和算法的優(yōu)化，在各類國(guó)際比賽中處于領(lǐng)先。

下一個(gè)在中國(guó)能廣泛應(yīng)用于實(shí)際場(chǎng)景的AI領(lǐng)域是哪里呢？有潛力的肯定包括智能網(wǎng)聯(lián)車和文體教等，這些也是國(guó)內(nèi)企業(yè)投入的重點(diǎn)。中國(guó)社會(huì)歷來(lái)高度重視教育，家庭在教育上的投入巨大，學(xué)區(qū)房、課外輔導(dǎo)、留學(xué)費(fèi)用等占到了許多家庭支出的大頭。AI對(duì)教育的改變，將深刻沖擊中國(guó)社會(huì)，數(shù)學(xué)這一被中國(guó)人視為重中之重的基礎(chǔ)學(xué)科，又是我們觀察這種影響的一個(gè)窗口。

從計(jì)算到證明

雖然數(shù)學(xué)一直被稱為人類心智的榮耀，但人類使用機(jī)器作為數(shù)學(xué)的輔助，有著幾千年的歷史。

早在公元前2400年，類似算盤(pán)這樣的工具就已經(jīng)被發(fā)明。17世紀(jì)的科學(xué)家和發(fā)明家布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）發(fā)明了早期的機(jī)械計(jì)算器，這種機(jī)器可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算。20世紀(jì)60年代，第一臺(tái)電子計(jì)算器問(wèn)世。早在20世紀(jì)70年代到80年代，世界上的部分高中和大學(xué)考試就開(kāi)始允許學(xué)生使用計(jì)算器，90年代起，許多國(guó)家的教育體系開(kāi)始正式將計(jì)算器作為教學(xué)工具，并編寫(xiě)了相應(yīng)的課程，鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算器進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算。

美國(guó)的SAT數(shù)學(xué)考試在1994年首次允許學(xué)生使用計(jì)算器。目前，世界許多國(guó)家的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)學(xué)考試，如AP數(shù)學(xué)考試、SAT、ACT以及國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽，允許考生使用特定類型的計(jì)算器。用計(jì)算器可以幫助學(xué)生專注于數(shù)學(xué)概念的理解，而非繁瑣的計(jì)算，這已經(jīng)沒(méi)有太大爭(zhēng)議。中國(guó)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育以嚴(yán)格和系統(tǒng)著稱，中國(guó)學(xué)生在PISA這類國(guó)際數(shù)學(xué)評(píng)估中的表現(xiàn)十分優(yōu)異，盡管我們注重學(xué)生的計(jì)算能力，但也并不在高考中排斥計(jì)算器的使用。

機(jī)器幫助人類解決數(shù)學(xué)計(jì)算，無(wú)論在日常生活、教學(xué)還是科研領(lǐng)域，都已經(jīng)被普遍接受。強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算工具如MATLAB、Mathematica、Maple已經(jīng)是許多人工作的必備，適合簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算和統(tǒng)計(jì)分析的Excel更是普及。而在數(shù)學(xué)證明上，目前機(jī)器也在發(fā)揮越來(lái)越大的作用，這正是巨大變革可能產(chǎn)生的開(kāi)始。

這次在IMO 2024，數(shù)學(xué)家陶哲軒做了一場(chǎng)演講，回顧了從早期計(jì)算工具到現(xiàn)代的機(jī)器學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)研究的范式轉(zhuǎn)變。他談到了許多例子，心智觀察所在這里結(jié)合自己的理解做一些總結(jié)和評(píng)論。

第一個(gè)例子是表格。數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多重要成果都是通過(guò)數(shù)論中的表格首次發(fā)現(xiàn)的，許多猜想也是通過(guò)大量的表格發(fā)現(xiàn)的。表格可以理解為數(shù)據(jù)庫(kù)，計(jì)算機(jī)的一個(gè)基本用途就是建立這些有用的數(shù)據(jù)庫(kù)。比如，很多數(shù)學(xué)家，包括陶哲軒自己，使用一個(gè)叫做“整數(shù)序列在線百科全書(shū)”（Online Encyclopedia of Integar Sequences，OEIS）的數(shù)據(jù)庫(kù)。

第二個(gè)例子是科學(xué)計(jì)算。比如用計(jì)算機(jī)來(lái)建模各種事物，求解大量線性方程或偏微分方程，這幾乎是現(xiàn)代科學(xué)研究和工程應(yīng)用的基石，從天氣預(yù)報(bào)到風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)，從新材料和藥物的研發(fā)到期權(quán)定價(jià)、核反應(yīng)堆設(shè)計(jì)，其應(yīng)用無(wú)處不在。

另一種科學(xué)計(jì)算是SAT求解器，可以解決一些邏輯難題（布爾可滿足性問(wèn)題），其原理是通過(guò)檢查大量的布爾變量，尋找是否存在一組變量的賦值，使得整個(gè)布爾公式為真。通俗地說(shuō)，比如給你1000個(gè)陳述，有的是真的，有的是假的，再給你一些限制條件、變量和法則，讓你證明某些句子的組合邏輯上是真的。通過(guò)把數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如畢達(dá)哥拉斯三元組問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為布爾邏輯問(wèn)題，利用SAT求解器強(qiáng)大的組合求解能力，能夠有效尋找整數(shù)解。

第三個(gè)例子是形式化證明輔助。四色定理（任一地圖只用四種顏色就能讓相鄰的國(guó)家染上不同的顏色）和開(kāi)普勒猜想（在三維空間中最有效地堆疊球體，以最大限度填充空間）的證明，都是計(jì)算機(jī)輔助證明的著名例子。

為了更加簡(jiǎn)潔地形式化復(fù)雜的證明過(guò)程，數(shù)學(xué)家開(kāi)始使用Lean平臺(tái)，Lean將數(shù)學(xué)命題用形式化語(yǔ)言表達(dá)并通過(guò)計(jì)算機(jī)驗(yàn)證，使得每一個(gè)推理步驟都可以自動(dòng)檢查。這為數(shù)學(xué)研究提供了極大的便利，也降低了證明復(fù)雜定理的出錯(cuò)率。目前本科數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)內(nèi)容，比如微積分、群論或拓?fù)鋵W(xué)的基本概念等，都已經(jīng)被形式化，更多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的內(nèi)容也在被加入到這個(gè)庫(kù)中。

數(shù)學(xué)家Peter Scholze就利用Lean試圖形式化驗(yàn)證自己的高深數(shù)學(xué)理論，這些理論需要高層次數(shù)學(xué)背景和對(duì)非常抽象的概念的理解，涉及到對(duì)現(xiàn)代代數(shù)幾何、范疇論、同調(diào)代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)的深入掌握。Scholze對(duì)自己的證明存有疑慮，也沒(méi)有人有本事詳細(xì)查看其中的細(xì)節(jié)。Lean的形式化證明如果能夠成功，意味著形式化數(shù)學(xué)能處理現(xiàn)代數(shù)學(xué)的前沿問(wèn)題。用Lean證明費(fèi)馬大定理的項(xiàng)目，目前也已經(jīng)獲得資助并啟動(dòng)。

陶哲軒自己則致力于以眾包方式來(lái)用Lean探索數(shù)學(xué)。其方法是為大型的復(fù)雜證明編寫(xiě)一個(gè)藍(lán)圖，將證明分解成數(shù)百個(gè)小步驟，每個(gè)步驟都可以單獨(dú)形式化，然后組合起來(lái)，最后將長(zhǎng)達(dá)數(shù)萬(wàn)行的形式化證明轉(zhuǎn)換回人類可讀的版本，最后這步也是計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成的。

這樣的好處是，證明過(guò)程更加開(kāi)放，讓數(shù)學(xué)家們可以更好地分工合作，每個(gè)人處理任務(wù)圖中自己負(fù)責(zé)的部分，通常是自己擅長(zhǎng)解決的，而不需要理解整個(gè)證明。由于Lean可以自動(dòng)檢查，就能保證每個(gè)人的工作達(dá)到質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。另外，遇到修改，編譯器會(huì)自動(dòng)指出關(guān)聯(lián)的地方，不需要像傳統(tǒng)的方式重寫(xiě)整個(gè)證明，效率大大提高。

最后一個(gè)例子就是當(dāng)下炙手可熱的機(jī)器學(xué)習(xí)。